Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral von 0 bis 1 über Quadratwurzel von 1-x^2 nach x
Schritt 1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.1
Vereinfache .
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Schritt 2.1.1
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2
Vereinfache.
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Schritt 2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.4
Addiere und .
Schritt 3
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 6
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 7
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 7.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 7.1.1
Differenziere .
Schritt 7.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2
Setze die untere Grenze für in ein.
Schritt 7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.4
Setze die obere Grenze für in ein.
Schritt 7.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.6
Die für und gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.
Schritt 7.7
Schreibe die Aufgabe mithilfe von , und den neuen Grenzen der Integration neu.
Schritt 8
Kombiniere und .
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Das Integral von nach ist .
Schritt 11
Substituiere und vereinfache.
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Schritt 11.1
Berechne bei und .
Schritt 11.2
Berechne bei und .
Schritt 11.3
Addiere und .
Schritt 12
Vereinfache.
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Schritt 12.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.3
Addiere und .
Schritt 12.4
Kombiniere und .
Schritt 13
Vereinfache.
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Schritt 13.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 13.2
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 13.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 13.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.3
Addiere und .
Schritt 13.4
Multipliziere .
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Schritt 13.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform:
Schritt 15