Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Schritt 1

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 1$ und $0$ .

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (e^{- 1} - 1)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{e} - 1)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{e} - - 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{e} + 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{e} + 1$

Dezimalform:

$0.63212055 \dots$

Schritt 7