Analysis Beispiele

$\int y^{2} \sqrt{y} d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int y^{2} y^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{2 + \frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int y^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} d y$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int y^{\frac{4 + 1}{2}} d y$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\int y^{\frac{5}{2}} d y$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{5}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C$