Analysis Beispiele

$\int x^{9} e^{x^{10}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ als ${u_{1}}^{4}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ als ${u_{1}}^{5}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ und $e^{{u_{1}}^{5}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}}}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Dann ist $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 5

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{10} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{10} e^{u_{2}} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{1}{10} e^{{u_{1}}^{5}} + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} e^{{(x^{2})}^{5}} + C$