Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (3 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Schritt 8

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 8.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Schreibe $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ als $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ um.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Um $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 13.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 13.2.6.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (3 x)}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.4

Um $- x^{2} \cos (3 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.5

Kombiniere $- x^{2} \cos (3 x)$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.7

Um $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.10

Schreibe $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 15.1.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.1.10.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 15.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Schritt 15.3

Multipliziere $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Schritt 15.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

Schritt 15.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$