Analysis Beispiele

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{- x}$ und $\cos (2 x)$ um.

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (2 x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Schritt 3

Da $- - 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- - 2$ aus dem Integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- x}$ und $\sin (2 x)$ um.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (2 x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Schritt 6

Da $- 1 \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1 \cdot 2$ aus dem Integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Schritt 7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Schritt 7.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ als $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ um.

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \cos (2 x) e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Schritt 9.2.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $2 \sin (2 x) e^{- x}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Schritt 9.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Schritt 9.2.5

Schreibe $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ als $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ um.

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Schritt 9.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$