Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $4$ aus $1 + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $1$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Schritt 5.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Schritt 5.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$