Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 3

Multipliziere das Argument mit $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombinieren.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\sec (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ an.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6.4

Schreibe $\sec (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Schritt 6.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ an.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Faktorisiere $\cos (\frac{x}{2})$ aus $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ heraus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $\cos (\frac{x}{2})$ aus $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ heraus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.8

Kombiniere $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ und $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ nach $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Schritt 8

Wandle von $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ nach $2 \tan (\frac{x}{2})$ um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Schritt 9

Wandle $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ordne Terme um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 11.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 11.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Schritt 11.4

Schreibe das Polynom neu.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Schritt 11.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Schritt 12

Sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 12.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ und $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Schritt 13.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Schritt 14

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Schritt 15

Sei $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Es sei $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Differenziere $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Schritt 15.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Schritt 15.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Schritt 15.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Schritt 15.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $\sec^{2} (u_{1})$ von $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Schritt 15.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 17

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 18

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 18.2

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 18.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 19

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Schritt 20

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Schreibe $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ als $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ um.

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Schritt 20.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Schritt 20.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Schritt 21

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Schritt 21.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Schritt 22

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$