Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 5.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Schritt 10.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$