Analysis Beispiele

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Schritt 1

Sei $u = t^{6} + 5 t$ . Dann ist $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , folglich $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = t^{6} + 5 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{6} + 5 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$