Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x^{3} e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{lim_{x \to 8} - x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{- lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{- {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8^{3} \cdot e^{- {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8^{3} \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$512 \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$512 \cdot e^{- 1 \cdot 64}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$512 \cdot e^{- 64}$

Schritt 7.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 \cdot \frac{1}{e^{64}}$

Schritt 7.5

Kombiniere $512$ und $\frac{1}{e^{64}}$ .

$\frac{512}{e^{64}}$