Analysis Beispiele

$f (x) = x \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.2

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 \sin (x)$ von $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 4.4.2.3

Subtrahiere $3 \cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$