Analysis Beispiele

$y \sqrt{x + 1} = 4$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.7.3

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.12

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Schritt 3.13

Stelle die Terme um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 6.1.1

Um ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ und $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.2

Multipliziere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.2.1

Bewege ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.3

Vereinfache $2 {(x + 1)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' + 2 y' = - y$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y' + 2 y'$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$2 y' x + 2 y' = - y$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ heraus.

$2 y' (x + 1) = - y$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x + 1) = - y$ durch $2 (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x + 1) = - y$ durch $2 (x + 1)$ .

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$