Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(2 + x)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(2 + x)}^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 + x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $3 {(2 + x)}^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $3 {(2 + x)}^{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 {(2 + x)}^{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 + x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 {(2 + 0)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 \cdot 2^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12$