Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{x}}{4 + x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{4 + x}$

Schritt 1.2

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4}}{4 + x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4}}{4 + x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{4}{x \cdot 4}}{4 + x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 4$ um.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{4}{4 x}}{4 + x}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x + 4}{4 x}}{4 + x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x} \cdot \frac{1}{4 + x}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{4 x}$ mit $\frac{1}{4 + x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (4 + x)}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und $4 + x$ .

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Schritt 2.1.3.1

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (x + 4)}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (x + 4)}$

Schritt 2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 4} \frac{1}{4 x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 4} \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} x}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 4} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 4}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{16}$

Dezimalform:

$- 0.0625$