Analysis Beispiele

$x y + 2 x + 3 y = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 2 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y + 2 + 3 y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$x y' + y + 3 y' + 2$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 3 y' = - y - 2$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 3 y' = - y - 2$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (x + 3) = - y - 2$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 3) = - y - 2$ durch $x + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 3) = - y - 2$ durch $x + 3$ .

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (2)$ heraus.

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (y + 2)$ als $- 1 (y + 2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$