Analysis Beispiele

$24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3} = - 11$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$24 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$24 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$24 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$24 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$24 (2 x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$48 (x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$48 x^{3} y y' + 72 y^{2} x^{2} - 24 y^{2} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y'$

Schritt 3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $72 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $24 y y'$ aus $48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $24 y y'$ aus $48 x^{3} y y'$ heraus.

$24 y y' (2 x^{3}) - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $24 y y'$ aus $- 24 y^{2} y'$ heraus.

$24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $24 y y'$ aus $24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y)$ heraus.

$24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ durch $24 y (2 x^{3} - y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ durch $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{3} - y$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $24$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $24$ aus $- 72 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $24$ aus $24 y (2 x^{3} - y)$ heraus.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$