Analysis Beispiele

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} - x^{3} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3} y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $3 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x y y' - x^{3} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- x^{3} y'$ heraus.

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ heraus.

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ durch $x (2 y - x^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ durch $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Um $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (2 y - x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 y - x^{2}) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} + 3 x y x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $3 x y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (- 3 x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Schreibe $- (y - 3 x^{2})$ als $- 1 (y - 3 x^{2})$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$