Analysis Beispiele

$y = {(2 x^{3} + 9 x)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 2 x^{3} + 9 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3} + 9 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} + 9 x$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9 \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$5 {(2 x^{3} + 9 x)}^{4} (6 x^{2} + 9)$