Analysis Beispiele

$y = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ zu dividieren.

$1 \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ mit $1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + e^{x}$ und $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Multipliziere.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $1 + e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ mit $\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $1 - e^{x}$ aus $(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

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Schritt 11.3.1.1

Addiere $- e^{x} e^{x}$ und $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x} + 0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.3.1.2

Addiere $1 e^{x} + 1 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.3.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Schritt 11.3.3

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$