Analysis Beispiele

$e^{3 t \sin (2 t)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t \sin (2 t)$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t \sin (2 t)$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t \sin (2 t)}$ .

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \sin (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 2 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\sin (2 t)$ mit $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$