Analysis Beispiele

x^{2} (1 - 8 x)

$x^{2} (1 - 8 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ und

g (x) = 1 - 8 x

$g (x) = 1 - 8 x$ .

x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 8 x] + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 8 x] + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

1 - 8 x

$1 - 8 x$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

1

$1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

1

$1$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Addiere

0

$0$ und

\frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

x^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x] + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x] + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

- 8

$- 8$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- 8 x

$- 8 x$ nach

x

$x$ gleich

- 8 \frac{d}{d x} [x]

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

x^{2} (- 8 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} (- 8 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

x^{2} (- 8 \cdot 1) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} (- 8 \cdot 1) + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

1

$1$ .

x^{2} \cdot - 8 + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$x^{2} \cdot - 8 + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe

- 8

$- 8$ auf die linke Seite von

x^{2}

$x^{2}$ .

- 8 \cdot x^{2} + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 8 \cdot x^{2} + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

- 8 \cdot x^{2} + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 8 \cdot x^{2} + (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

- 8 x^{2} + (1 - 8 x) (2 x)

$- 8 x^{2} + (1 - 8 x) (2 x)$

Schritt 2.8

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

1 - 8 x

$1 - 8 x$ .

- 8 x^{2} + 2 \cdot (1 - 8 x) x

$- 8 x^{2} + 2 \cdot (1 - 8 x) x$

- 8 x^{2} + 2 \cdot (1 - 8 x) x

$- 8 x^{2} + 2 \cdot (1 - 8 x) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 x^{2} + (2 \cdot 1 + 2 (- 8 x)) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (- 8 x) x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x + 2 (- 8 x) x$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$2$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 16 x \cdot x$

Schritt 3.3.3

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 16 (x^{1} x)$

Schritt 3.3.4

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 16 (x^{1} x^{1})$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 x^{2} + 2 x - 16 x^{1 + 1}$

Schritt 3.3.6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 16 x^{2}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere

$16 x^{2}$ von

$- 8 x^{2}$ .

$- 24 x^{2} + 2 x$