Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $e^{x} x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - 3 e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} e^{x} (x - 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$