Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ als ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Schritt 8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{8}$ an.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3

Vereine die Terme

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Schritt 12.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ mit $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Schritt 12.3.7

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Schritt 12.3.8

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 12.3.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.9.1

Bewege $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Schritt 12.3.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Schritt 12.3.9.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Schritt 12.3.9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 12.3.9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 12.3.9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.9.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Schritt 12.3.9.6.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 12.3.10

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 12.3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 12.3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 12.3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$