Analysis Beispiele

$t \sqrt{4 - t}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - t}$ als ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 4 - t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - t$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.3

Bringe ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 14.3.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 16

Mutltipliziere ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 17

Um ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18

Kombiniere ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Multipliziere ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Bewege ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache ${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - t$ .

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $2 t$ von $- t$ .

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 t$ heraus.

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.4

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 t) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.6

Schreibe $- (3 t - 8)$ als $- 1 (3 t - 8)$ um.

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$