Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

Schritt 1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (x^{2} - 1) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 1 = e^{3}$ um.

$x^{2} - 1 = e^{3}$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = e^{3} + 1$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = e$ und $b = 1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

Schritt 3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Dezimalform:

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$