Analysis Beispiele

$\ln (\tan (x))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\tan (x))$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \ln (\tan (x))$ auftritt.

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Berechne $\arctan (- \frac{π}{2})$ .

$x = - 1.00388482$

Schritt 1.2.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 1.2.4.2

Der resultierende Winkel von $2.13770783$ ist positiv und gleich $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = 2.13770783$

Schritt 1.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $π$ zu $- 1.00388482$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.00388482 + π$

Schritt 1.2.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.00388482$

Schritt 1.2.6.3

Subtrahiere $1.00388482$ von $3.14159265$ .

$2.13770783$

Schritt 1.2.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.13770783$

Schritt 1.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.8

Führe $2.13770783 + π n$ und $2.13770783 + π n$ zu $2.13770783 + π n$ zusammen.

$x = 2.13770783 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Berechne $\arctan (\frac{π}{2})$ .

$x = 1.00388482$

Schritt 1.4.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Schritt 1.4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Schritt 1.4.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Schritt 1.4.4.3

Addiere $3.14159265$ und $1.00388482$ .

$x = 4.14547747$

Schritt 1.4.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.4.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.4.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.4.7

Führe $1.00388482 + π n$ und $4.14547747 + π n$ zu $1.00388482 + π n$ zusammen.

$x = 1.00388482 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \ln (\tan (x))$ tritt auf bei $(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , wobei $2.13770783 + π n$ und $1.00388482 + π n$ vertikale Asymptoten sind.

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\tan (x))$ treten bei $2.13770783 + π n$ , $1.00388482 + π n$ und allen $π n$ auf, wobei $n$ eine ganze Zahl ist.

$π n$

Schritt 1.8

Bei Tangens- und Kotangensfunktionen gibt es nur vertikale Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 2.13770783 + π n + π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2.13770783 + π n + π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Berechne $\tan (1)$ .

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (1.55740772)$ .

$\ln (1.55740772)$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 7$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ und den Punkten $(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Schritt 6