Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 3 x$ , $(2, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 3$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$3 {(2)}^{2} - 3$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 - 3$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 - 3$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$9$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 9 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $9 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$y - 2 = 9 x - 18$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x - 18 + 2$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 18$ und $2$ .

$y = 9 x - 16$

Schritt 3