Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 5 x + 4$ , $y = - {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 5 x + 4 = - {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} - 5 x + 4 = - {(x - 1)}^{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $- {(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Forme um.

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + 0 - {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x^{2} - 5 x + 4 = - ((x - 1) (x - 1))$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Schritt 1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Schritt 1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.1.4.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 1.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - x - x + 1)$

Schritt 1.2.1.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = - x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x + 4 + x^{2} = 2 x - 1$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x + 4 + x^{2} - 2 x = - 1$

Schritt 1.2.2.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 5 x + 4 - 2 x = - 1$

Schritt 1.2.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 4 = - 1$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x + 4 + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.2.5.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 2$ plus $- 5$

$2 x^{2} + (- 2 - 5) x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 2 x) - 5 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x - 1) - 5 (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x - 5) = 0$

Schritt 1.2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x - 5 = 0 + y = - {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.8

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 1.2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = - {((1) - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = - {((1) - 1)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(1 - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {((1) - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $- {((1) - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = - 0^{2}$

Schritt 1.3.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0$

Schritt 1.3.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2

Setze $\frac{5}{2}$ für $x$ in $y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(\frac{5}{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache $- {((\frac{5}{2}) - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - {(\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - {(\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - {(\frac{5 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - {(\frac{5 - 2}{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.3.4.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$y = - {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$y = - \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.4.2.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 1.4.2.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 0)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

$(1, 0)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Schritt 2

Vereinfache $- {(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$y = - ((x - 1) (x - 1))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - (x^{2} - x - x + 1)$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$y = - (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 d x - \int_{1}^{\frac{5}{2}} x^{2} - 5 x + 4 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $\frac{5}{2}$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 - (x^{2} - 5 x + 4) d x$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 4$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 4$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4$

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4 d x$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 1 + 5 x - 4$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 x$ und $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 7 x - 1 - 4$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 7 x - 5$

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - 2 x^{2} + 7 x - 5 d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{\frac{5}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{1}^{\frac{5}{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} 7 x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 \int_{1}^{\frac{5}{2}} x d x + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + \int_{1}^{\frac{5}{2}} - 5 d x$

Schritt 4.11

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.12.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\frac{5}{2}$ und $1$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{\frac{5}{2}}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.12.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $\frac{5}{2}$ und $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 5 x]_{1}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.12.3

Berechne $- 5 x$ bei $\frac{5}{2}$ und $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4

Vereinfache.

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Schritt 4.12.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + (- 5 (\frac{5}{2})) + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25}{2} + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5 \cdot 1$

Schritt 4.12.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5$

Schritt 4.12.4.7

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.12.4.8

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{25}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.12.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.12.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.4.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 25 + 10}{2}$

Schritt 4.12.4.10.2

Addiere $- 25$ und $10$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 15}{2}$

Schritt 4.12.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{15}{2}$

Schritt 4.12.4.12

Um $- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 4.12.4.13

Kombiniere $- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 4.12.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 2 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 2 - 15}{2}$

Schritt 4.12.4.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.12.4.16

Um $7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.12.4.17

Kombiniere $7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{- 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.12.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2 - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.12.4.19

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{14 (\frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{2^{2}}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{{(\frac{5}{2})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{5^{3}}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.2.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{125}{2^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{14 (\frac{\frac{25}{4}}{2} - \frac{1}{2}) - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} - 1}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \frac{\frac{25 - 1 \cdot 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{14 \frac{\frac{25 - 4}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$\frac{14 \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.13.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (7) \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 7 \frac{\frac{21}{4}}{2} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 (\frac{21}{4}) - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.7

Kombiniere $7$ und $\frac{21}{4}$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 21}{4} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.8

Mutltipliziere $7$ mit $21$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{\frac{125}{8}}{3} - \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} - 1}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125 - 1 \cdot 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{125 - 8}{8}}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.13.2

Subtrahiere $8$ von $125$ .

$\frac{\frac{147}{4} - 4 \frac{\frac{117}{8}}{3} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.14

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{117}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.13.3.15.1

Faktorisiere $3$ aus $117$ heraus.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{3 (39)}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{3 \cdot 39}{8} \cdot \frac{1}{3}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{147}{4} - 4 (\frac{39}{8}) - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.13.3.16.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{\frac{147}{4} + 4 (- 1) \frac{39}{8} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.16.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\frac{147}{4} + 4 \cdot - 1 \frac{39}{4 \cdot 2} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{147}{4} + 4 \cdot - 1 \frac{39}{4 \cdot 2} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.16.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39}{2} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.17

Um $- \frac{39}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{2} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.13.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{39}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{147}{4} - \frac{39 \cdot 2}{4} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{147 - 39 \cdot 2}{4} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.3.20.1

Mutltipliziere $- 39$ mit $2$ .

$\frac{\frac{147 - 78}{4} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.20.2

Subtrahiere $78$ von $147$ .

$\frac{\frac{69}{4} - 15}{2}$

Schritt 4.13.3.21

Um $- 15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{69}{4} - 15 \cdot \frac{4}{4}}{2}$

Schritt 4.13.3.22

Kombiniere $- 15$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{69}{4} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}}{2}$

Schritt 4.13.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{69 - 15 \cdot 4}{4}}{2}$

Schritt 4.13.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.3.24.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$\frac{\frac{69 - 60}{4}}{2}$

Schritt 4.13.3.24.2

Subtrahiere $60$ von $69$ .

$\frac{\frac{9}{4}}{2}$

Schritt 4.13.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.13.5

Multipliziere $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.13.5.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.13.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{9}{8}$

Schritt 5