Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Schritt 1.2

Löse $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Schritt 1.2.2.2

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Schritt 1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Schritt 1.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Schritt 1.2.2.5.2

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.1.1.3.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Schritt 1.3.2

Setze $2$ für $x$ in $y = - {(2)}^{2} + 6$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2^{2} + 6$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $- 2^{2} + 6$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 4 + 6$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$y = 2$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 2$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Schritt 4.2

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Schritt 4.4.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Schritt 4.4.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Schritt 4.4.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Schritt 4.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Schritt 4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Schritt 4.7

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Schritt 4.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Schritt 4.9

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Schritt 4.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $2$ und $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Schritt 4.10.2

Berechne $6 x$ bei $2$ und $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3

Vereinfache.

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Schritt 4.10.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.5

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.7

Addiere $8$ und $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.8

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.9

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $6$ .

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Schritt 4.10.3.11.1

Faktorisiere $6$ aus $48$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.3.11.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.11.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.13

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Schritt 4.10.3.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Schritt 4.10.3.15

Addiere $12$ und $12$ .

$- 8 + 24$

Schritt 4.10.3.16

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16$

Schritt 5