Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{1 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 1.3.8.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 1.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (- (2 \sqrt{x}))$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (- 2 \sqrt{x})$

Schritt 1.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.1

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (- 2 \sqrt{x})$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (- 2 \sqrt{x})$

Schritt 1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} (- 2 \sqrt{x})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \sqrt{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- 2 lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2 \cdot 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.10

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Schritt 2.11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 4$ und $1$ .

$- \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{- 3}{1} \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- - 3 \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \cdot \sqrt{1}$

Schritt 4.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$