Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{81 x^{2} + x} - 9 x$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{81 x^{2} + x} - 9 x) (\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x)}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{81 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{81 x^{2} + x} (9 x) + \sqrt{81 x^{2} + x} (- 9 x) - 81 x^{2}}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $81 x^{2}$ von $81 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Schritt 2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $81 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $81 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x} + 9 x}$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x^{1}} + 9 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x \cdot 1} + 9 x}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x (81 x) + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x + 1)} + 9 x}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + 9}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x \cdot x}} + 9}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x \cdot x}} + 9}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 7.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{81 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{81 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.1.2

Dividiere $81$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 81 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 81 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9.5

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{1}} + 9}$

Schritt 11.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.1

Dividiere $81 + 0$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{81 + 0} + 9}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.2.1

Addiere $81$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{81} + 9}$

Schritt 11.3.2.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{9^{2}} + 9}$

Schritt 11.3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{9 + 9}$

Schritt 11.3.2.4

Addiere $9$ und $9$ .

$\frac{1}{18}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{18}$

Dezimalform:

$0.0\overline{5}$