Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{x - 1}$

Schritt 1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{x - 1}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{x - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1 - x}{x}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - x}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - (x)}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1 + x)}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Schritt 2.1.3.6

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$