Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (sin(x))/(2x^2-x), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.1.2.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 1.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 1.1.3.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 1.1.3.3
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 1.1.3.4
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 1.1.3.4.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.3.4.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.3.5
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 1.1.3.5.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.3.5.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.1.3.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3.5.2
Addiere und .
Schritt 1.1.3.5.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.1.3.6
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.4
Berechne .
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Schritt 1.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Berechne .
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Schritt 1.3.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.5.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 2.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.3
Dividiere durch .