Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{x^{3} + 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{x^{3} + 8}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{x^{3} + 8}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{- 2 + 2}{x^{3} + 8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{x^{3} + 8}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{0}{x^{3} + 2^{3}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$0$