Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 4^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{0}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 4) (x - 4)$ .

$0$