Analysis Beispiele

$lim_{x \to 25} \frac{5 - \sqrt{x}}{25 x - x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 25} 5 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $25$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 25} 5 - lim_{x \to 25} \sqrt{x}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $25$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to 25} \sqrt{x}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to 25} x}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 25} 25 x - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $25$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 25} 25 x - lim_{x \to 25} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $25$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{25 lim_{x \to 25} x - lim_{x \to 25} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{25 lim_{x \to 25} x - {(lim_{x \to 25} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $25$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$\frac{0}{25 \cdot 25 - {(lim_{x \to 25} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$\frac{0}{25 \cdot 25 - 25^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $25$ mit $25$ .

$\frac{0}{625 - 25^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Potenziere $25$ mit $2$ .

$\frac{0}{625 - 1 \cdot 625}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$\frac{0}{625 - 625}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $625$ von $625$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 25} \frac{5 - \sqrt{x}}{25 x - x^{2}} = lim_{x \to 25} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 25} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 25} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 25} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 25} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 25} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [25 x - x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [25 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [25 x]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 - (2 x)}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{25 - 2 x}$

Schritt 1.3.9

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 25} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 25}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 25} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 25}$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 25} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 25}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 x + 25}$ mit $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 25} - \frac{1}{(- 2 x + 25) (2 \sqrt{x})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 25} \frac{1}{(- 2 x + 25) (2 \sqrt{x})}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 25} \frac{1}{(- 2 x + 25) (\sqrt{x})}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $25$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 25} 1}{lim_{x \to 25} (- 2 x + 25) (\sqrt{x})}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $25$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 25} (- 2 x + 25) (\sqrt{x})}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $25$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 25} - 2 x + 25 \cdot lim_{x \to 25} \sqrt{x}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $25$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- lim_{x \to 25} 2 x + lim_{x \to 25} 25) \cdot lim_{x \to 25} \sqrt{x}}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 25} x + lim_{x \to 25} 25) \cdot lim_{x \to 25} \sqrt{x}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $25$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 25} x + 25) \cdot lim_{x \to 25} \sqrt{x}}$

Schritt 2.9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 25} x + 25) \cdot \sqrt{lim_{x \to 25} x}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $25$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 25 + 25) \cdot \sqrt{lim_{x \to 25} x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 25 + 25) \cdot \sqrt{25}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 50 + 25) \sqrt{25}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 50$ und $25$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 25 \sqrt{25}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 25 \sqrt{5^{2}}}$

Schritt 4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 25 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $5$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 125}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{125})$

Schritt 4.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{125})$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{125}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{125}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{125}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 125}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$\frac{1}{250}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{250}$

Dezimalform:

$0.004$