Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x \sin (\frac{2}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{2}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{2}{x})$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (2 (\frac{1}{8}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$8 \cdot \sin (2 \frac{1}{2 (4)})$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \sin (2 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \sin (\frac{1}{4})$

Schritt 7.2

Berechne $\sin (\frac{1}{4})$ .

$8 \cdot 0.24740395$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $8$ mit $0.24740395$ .

$1.97923167$