Analysis Beispiele

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y + 1 + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x^{2} y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{2} y y'$ heraus.

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.3.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ heraus.

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ durch $x + 1 - 2 x^{2} y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ durch $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$