Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 2
Schritt 2.1
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 2.2
Kombiniere und .
Schritt 3
Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Schritt 3.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 3.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Schritt 3.1.2.1
Berechne den Grenzwert.
Schritt 3.1.2.1.1
Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.
Schritt 3.1.2.1.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 3.1.2.1.3
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3.1.2.1.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.2.3
Vereinfache die Lösung.
Schritt 3.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.3.3
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 3.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Schritt 3.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.3.5
Addiere und .
Schritt 3.3.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.7
Kombiniere und .
Schritt 3.3.8
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.3.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.11
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Schritt 4.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4.5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.6
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4.7
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6
Schritt 6.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 6.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.2
Addiere und .
Schritt 6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .