Analysis Beispiele

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{t} + 1)}^{2}$ als $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ um.

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Schritt 1.2

Multipliziere $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $t$ und $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $e^{t}$ mit $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Schritt 1.3.2

Addiere $e^{t}$ und $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Schritt 3

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Schritt 4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Schritt 8

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$