Analysis Beispiele

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ als $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ um.

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Schritt 5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ mit $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Schritt 11.1.3

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ bei $7$ und $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Schritt 11.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $7$ und $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.5

Potenziere $7$ mit $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Schritt 11.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Schritt 11.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Schritt 11.2.3.9

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Schritt 11.2.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $98$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Schritt 11.2.3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Schritt 11.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Schritt 11.2.3.12

Addiere $- 1$ und $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Schritt 11.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $98$ .

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Schritt 11.2.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Schritt 11.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $98$ heraus.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Schritt 11.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Schritt 11.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Schritt 11.2.3.14

Schreibe $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ als ein Produkt um.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 11.2.3.15

Mutltipliziere $\frac{24}{49}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Schritt 11.2.3.16

Mutltipliziere $49$ mit $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Schritt 11.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $98$ .

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Schritt 11.2.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Schritt 11.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $98$ heraus.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Schritt 11.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Schritt 11.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Schritt 12.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Schritt 12.2

Addiere $- \frac{\ln (7)}{98}$ und $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (7)}{98}$ in den Zähler.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Schritt 12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $98$ heraus.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Schritt 12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Schritt 12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Schritt 12.5

Multipliziere $2 (\frac{12}{49})$ .

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Schritt 12.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Schritt 12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Dezimalform:

$0.45008346 \dots$