Analysis Beispiele

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 1

Dividiere $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ durch $x^{3} - x$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Schritt 7

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 7.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 x + 10$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

Schritt 7.1.1.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

Schritt 7.1.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Schritt 7.1.1.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2}) + 5 x$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Schritt 7.1.1.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Schritt 7.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Schritt 7.1.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Schritt 7.1.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 7.1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 7.1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 7.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.7.2

Dividiere $5 (x^{2} + x + 2)$ durch $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.1.2

Dividiere $A ((x + 1) (x - 1))$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.10.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.10.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.6

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.1.10.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.7.2

Dividiere $(B) (x (x - 1))$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.8

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.11

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.12

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 7.1.10.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 7.1.10.14.2

Dividiere $(C) (x (x + 1))$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Schritt 7.1.10.15

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Schritt 7.1.10.16

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Schritt 7.1.10.17

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Schritt 7.1.10.18

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Schritt 7.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1.11.1

Bewege $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Schritt 7.1.11.2

Bewege $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Schritt 7.1.11.3

Bewege $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Schritt 7.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 7.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = A + B + C$

Schritt 7.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$10 = - 1 A$

Schritt 7.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

Schritt 7.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Löse in $10 = - 1 A$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 A = 10$ um.

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 10$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.3.1

Dividiere $10$ durch $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $5 = A + B + C$ durch $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.3

Löse in $5 = - 10 + B + C$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 10 + B + C = 5$ um.

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.3.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.3.2.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.3.2.3

Addiere $5$ und $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Schritt 7.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $15 - C$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $5 = - 1 B + C$ durch $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.4.2.1

Vereinfache $- 1 (15 - C) + C$ .

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Schritt 7.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.4.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- C)$ .

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Schritt 7.3.4.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.4.2.1.2

Addiere $C$ und $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5

Löse in $5 = - 15 + 2 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 7.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 15 + 2 C = 5$ um.

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.5.2.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.2.2

Addiere $5$ und $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 20$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 20$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.5.3.3.1

Dividiere $20$ durch $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Schritt 7.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $B = 15 - C$ durch $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

Schritt 7.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.6.2.1

Vereinfache $15 - (10)$ .

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Schritt 7.3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

Schritt 7.3.6.2.1.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

Schritt 7.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

Schritt 7.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 10

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 11

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 14

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 14.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 14.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 14.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 15

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Schritt 16

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 17

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 17.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 17.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 17.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 18

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 19

Vereinfache.

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 20

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 20.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 20.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 21

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$