Analysis Beispiele

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

Schritt 1.2

Vereinfache $2 \ln (7 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1 \ln (7 x)$ als $- \ln (7 x)$ um.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Schritt 1.4.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (49 x^{2})$ und $d v = x$ .

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\ln (49 x^{2})$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 6.3.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 8.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

Schritt 12

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (7 x)$ und $d v = 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$