Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\frac{1}{2} (\arcsin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \arcsin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (2 x) + C$