Analysis Beispiele

$\int \frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

Schritt 1.1.1.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

Schritt 1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{5 x + 2}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 x + 2}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{5 x + 2}{(2 x - 1) (x + 4)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.6.2

Dividiere $5 x + 2$ durch $1$ .

$5 x + 2 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 2 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x + 4)$ durch $1$ .

$5 x + 2 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 2 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$5 x + 2 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 2 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 1.1.7.4.2

Dividiere $(B) (2 x - 1)$ durch $1$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Schritt 1.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 2 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Schritt 1.1.7.8

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - B$

Schritt 1.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.8.1

Bewege $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 x B - B$

Schritt 1.1.8.2

Bewege $4 A$ .

$5 x + 2 = A x + 2 x B + 4 A - B$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = A + 2 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = 4 A - 1 B$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $5 = A + 2 B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + 2 B = 5$ um.

$A + 2 B = 5$

$2 = 4 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.2

Subtrahiere $2 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $5 - 2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $2 = 4 A - 1 B$ durch $5 - 2 B$ .

$2 = 4 (5 - 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $4 (5 - 2 B) - 1 B$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = 4 \cdot 5 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$2 = 20 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$2 = 20 - 8 B - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.4

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- 8 B$ .

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3

Löse in $2 = 20 - 9 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $20 - 9 B = 2$ um.

$20 - 9 B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 B = 2 - 20$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $20$ von $2$ .

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 9 B = - 18$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 B = - 18$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Dividiere $- 18$ durch $- 9$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 5 - 2 B$ durch $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $5 - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 2$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4}$

Schritt 1.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = x + 4$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 8.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| x + 4 |) + C$