Analysis Beispiele

$8 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Schritt 5

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \cos (t)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \cos (t)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 6

Multipliziere $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- 1 u^{2}$ als $- u^{2}$ um.

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 7.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 7.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $0$ und $1$ .

$8 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Schritt 14.2

Berechne $\frac{u^{5}}{5}$ bei $0$ und $1$ .

$8 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$8 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.4

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$8 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 14.3.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 14.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Schritt 14.3.10

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von $0$ .

$8 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Schritt 14.3.11

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 14.3.12

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 14.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 14.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 14.3.13.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Schritt 14.3.13.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Schritt 14.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{5 - 3}{15}$

Schritt 14.3.15

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$8 (\frac{2}{15})$

Schritt 14.3.16

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{15}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{15}$

Schritt 14.3.17

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16}{15}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{15}$

Dezimalform:

$1.0\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{15}$

Schritt 16