Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (8 x)}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (8 x)$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (8 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (8 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{8 x}$ .

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (8 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (8 x) + C$