Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 \cos (t)$ aus ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (\sin (t))$ an.

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ nach $\csc^{2} (t)$ um.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \cot (t)$ gleich $\csc^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (t)$ gleich $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Schritt 8.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.9

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{2}$ mit $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.11

Schreibe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 8.1.11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 + x) (2 - x)$ heraus.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.15

Kombiniere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Schritt 8.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$