Analysis Beispiele

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Schritt 2

Sei $u = 3 z^{2} - 7$ . Dann ist $d u = 6 z d z$ , folglich $\frac{1}{6} d u = z d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 z^{2} - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 z^{2} - 7$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $3 z^{2}$ nach $z$ gleich $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$6 z + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6 z$ und $0$ .

$6 z$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $u^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$